大数定律（Law of large numbers）

有个六面的骰子黔东南罐体保温，咱们思知说念它扔到每面的概率是不是相通的。那咱们便不错通过反复投掷该骰子，然后统计每面出现的频率。直不雅上，当咱们投掷的次数满盈多之后，每面出现的频率就应该越来越接近投掷次骰子时该面出现的概率。大数定律等于严格的来阐明这件事情。

有许多种不同形式的大数定律，可是它们齐革职着通常的模式。设 \(X_1,X_2,\dots\) 是界说在同个概率空间上的随即变量。关于 \(n\in \bb N\), 咱们界说部分和 \(S_n = \sum_{i\in [n]} X_i\)。个大数定律老是如下模式

如果 \(X_1, X_2,\dots\) 平静[某条目]， 那么 \(\frac{S_n}{n}\) 以[某种模式]赓续到[某个数]。

咱们不错对 [某条目]，[某种模式]，[某个数] 取不同的东西，赢得不同的大数定律。但在般情况下，咱们顺心的赓续模式主如若“依概率赓续”和“实在然赓续”两种。而具有这两种赓续模式的论断的大数定律，咱们区别叫作念弱大数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN）和宏大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）。由于咱们前边阐明过，“实在然赓续”是比“依概率赓续”强的赓续模式，因此，宏大数定律的成立要么需要强的条目，要么其阐明需要加轮廓的分析。

咱们接下来给出几个大数定律。

手机：18632699551（微信同号） （弱大数定律）设 \(X_1,X_2,\dots\) 是立的随即变量，况兼每个 \(X_i\) 均是可积的且有相通的渴望，铝皮保温即 \(\E{X_i}=\mu\)。如果关于每个 \(X_i\)，其二阶矩有统上界，即 \(\E{X_i^2}\le \sigma^2\)。那么 \(\frac{S_n}{n}\overset{P}{\to} \mu\)。 （Cantelli 宏大数定律） 设 \(X_1,X_2,\dots\) 是立的随即变量，况兼每个 \(X_i\) 均是可积的且有相通的渴望，即 \(\E{X_i}=\mu\)。如果关于每个 \(X_i\)，其四阶矩有统上界，即 \(\E{X_i^4}\le \tau\)。那么 \(\frac{S_n}{n}\overset{a.s}{\to} \mu\)。 （辛钦（Khinchin）弱大数定律）设 \(X_1,X_2,\dots\) 是立同漫衍的随即变量，况兼每个 \(X_i\) 均是可积的，平静 \(\E{X_i}=\mu\)。那么 \(\frac{S_n}{n}\overset{P}{\to} \mu\)。 （科尔莫格洛夫（Kolmogorov）宏大数定律）设 \(X_1,X_2,\dots\) 是立同漫衍的随即变量，况兼每个 \(X_i\) 均是可积的，平静 \(\E{X_i}=\mu\)。那么 \(\frac{S_n}{n}\overset{a.s.}{\to} \mu\)。

详细到，前两个大数定律对随即变量的阶矩有要求，此背面两个大数定律唯有求随即变量可积。可是，前两个大数定律允许随即变量具有不同的漫衍，但背面两个要求随即变量须是同漫衍的，不然论断不定正确。

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